Cos'è la distribuzione binomiale?

La distribuzione binomiale è una distribuzione di probabilità comune che modella la probabilità Regola di probabilità totale La regola di probabilità totale (nota anche come legge della probabilità totale) è una regola fondamentale nelle statistiche relative a condizionale e marginale di ottenere uno dei due risultati sotto un dato parametri. Riassume il numero di prove quando ciascuna prova ha le stesse possibilità di ottenere un risultato specifico. Il valore di un binomio si ottiene moltiplicando il numero di prove indipendenti per i successi.

Distribuzione binomiale

Ad esempio, quando si lancia una moneta, la probabilità di ottenere una testa è 0,5. Se ci sono 50 prove, il valore atteso Valore atteso Valore atteso (noto anche come EV, aspettativa, media o valore medio) è un valore medio di lungo periodo di variabili casuali. Il valore atteso indica anche che il numero di teste è 25 (50 x 0,5). La distribuzione binomiale viene utilizzata nelle statistiche come elemento costitutivo per variabili dicotomiche come la probabilità che il candidato A o B emerga in posizione 1 negli esami di medio termine.

Criteri di distribuzione binomiale

La distribuzione binomiale modella la probabilità che si verifichi un evento quando vengono soddisfatti criteri specifici. La distribuzione binomiale implica le seguenti regole che devono essere presenti nel processo per poter utilizzare la formula di probabilità binomiale:

1. Prove fisse

Il processo in esame deve avere un numero fisso di prove che non può essere modificato nel corso dell'analisi. Durante l'analisi, ogni prova deve essere eseguita in modo uniforme, sebbene ogni prova possa produrre un risultato diverso.

Nella formula della probabilità binomiale, il numero di tentativi è rappresentato dalla lettera "n". Un esempio di una prova fissa può essere lanci di monete, tiri liberi, giri di ruota, ecc. Il numero di volte che ogni prova viene condotta è noto dall'inizio. Se una moneta viene lanciata 10 volte, ogni lancio della moneta è una prova.

2. Prove indipendenti

L'altra condizione di una probabilità binomiale è che le prove siano indipendenti l'una dall'altra. In termini semplici, il risultato di una prova non dovrebbe influenzare l'esito delle prove successive.

Quando si utilizzano determinati metodi di campionamento, esiste la possibilità di avere prove che non sono completamente indipendenti l'una dall'altra e la distribuzione binomiale può essere utilizzata solo quando la dimensione della popolazione è ampia rispetto alla dimensione del campione.

Un esempio di prove indipendenti potrebbe essere il lancio di una moneta o il lancio di un dado. Quando si lancia una moneta, il primo evento è indipendente dagli eventi successivi.

3. Probabilità di successo fissa

In una distribuzione binomiale, la probabilità di ottenere un successo deve rimanere la stessa per le prove che stiamo esaminando. Ad esempio, quando si lancia una moneta, la probabilità di lanciare una moneta è ½ o 0,5 per ogni prova che conduciamo, poiché ci sono solo due possibili risultati.

In alcune tecniche di campionamento, come il campionamento senza sostituzione, la probabilità di successo di ciascuna prova può variare da una prova all'altra. Ad esempio, supponiamo che ci siano 50 ragazzi su una popolazione di 1.000 studenti. La probabilità di scegliere un ragazzo da quella popolazione è 0,05.

Nella prossima sperimentazione ci saranno 49 ragazzi su 999 studenti. La probabilità di scegliere un ragazzo nel prossimo processo è 0,049. Mostra che nelle prove successive, la probabilità da una prova all'altra varierà leggermente rispetto alla prova precedente.

4. Due risultati che si escludono a vicenda

Nella probabilità binomiale, ci sono solo due risultati che si escludono a vicenda Eventi che si escludono a vicenda Nella statistica e nella teoria della probabilità, due eventi si escludono a vicenda se non possono verificarsi contemporaneamente. L'esempio più semplice di mutuamente escludersi, cioè successo o fallimento. Sebbene il successo sia generalmente un termine positivo, può essere usato per indicare che il risultato della sperimentazione concorda con ciò che hai definito un successo, sia che si tratti di un risultato positivo o negativo.

Ad esempio, quando un'azienda riceve una spedizione in conto deposito Le vendite in conto deposito sono un accordo commerciale in cui una parte (il mittente) fornisce merci a un'altra parte (il destinatario) per la vendita. Tuttavia, il destinatario di lampade con molte rotture, l'azienda può definire il successo per il processo come ogni lampada che ha rotto il vetro. Un guasto può essere definito come quando le lampade hanno zero vetri rotti.

Nel nostro esempio, i casi di lampade rotte possono essere utilizzati per indicare il successo come un modo per dimostrare che un'elevata percentuale di lampade nella spedizione è rotta. e che c'è una bassa probabilità di ottenere una partita di lampade con zero rotture.

Esempio di distribuzione binomiale

Supponiamo che, secondo gli ultimi rapporti della polizia, l'80% di tutti i reati minori sia irrisolto e che nella tua città siano commessi almeno tre di questi reati minori. I tre crimini sono tutti indipendenti l'uno dall'altro. Dai dati forniti, qual è la probabilità che uno dei tre reati venga risolto?

Soluzione

Il primo passo per trovare la probabilità binomiale è verificare che la situazione soddisfi le quattro regole della distribuzione binomiale:

  • Numero di processi fissi (n): 3 (Numero di reati minori)
  • Numero di risultati che si escludono a vicenda: 2 (risolti e irrisolti)
  • La probabilità di successo (p): 0,2 (il 20% dei casi viene risolto)
  • Prove indipendenti: sì

Il prossimo:

Troviamo la probabilità che uno dei crimini venga risolto nei tre processi indipendenti. Viene mostrato come segue:

Prova 1 = 1 ° risolto, 2 ° irrisolto e 3 ° irrisolto

= 0,2 x 0,8 x 0,8

= 0,128

Prova 2 = 1 ° irrisolto, 2 ° risolto e 3 ° irrisolto

= 0,8 x 0,2 x 0,8

= 0,128

Prova 3 = 1 ° irrisolto, 2 ° irrisolto e 3 ° risolto

= 0,8 x 0,8 x 0,2

= 0,128

Totale (per le tre prove) :

= 0,128 + 0,128 + 0,128

= 0,384

In alternativa, possiamo applicare le informazioni nella formula della probabilità binomiale, come segue:

Probabilità binomiale - Formula

Dove:

Nell'equazione, x = 1 en = 3. L'equazione fornisce una probabilità di 0,384.

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