Cos'è il teorema del limite centrale (CLT)?

Il Teorema del limite centrale (CLT) è un concetto statistico che afferma che la distribuzione media campionaria di una variabile casuale assumerà una distribuzione quasi normale o normale se la dimensione del campione è abbastanza grande. In termini semplici, il teorema afferma che la distribuzione campionaria della media media media è un concetto essenziale in matematica e statistica. In generale, una media si riferisce alla media o al valore più comune in una raccolta di approcci a una distribuzione normale all'aumentare della dimensione del campione, indipendentemente dalla forma della distribuzione della popolazione originale.

Diagramma del Teorema del limite centrale (CLT) che mostra la convergenza alla distribuzione normale

Man mano che l'utente aumenta il numero di campioni a 30, 40, 50, ecc., Il grafico delle medie dei campioni si sposterà verso una distribuzione normale. La dimensione del campione deve essere 30 o superiore affinché il teorema del limite centrale sia valido.

Una delle componenti più importanti del teorema è che la media del campione sarà la media dell'intera popolazione. Se si calcola la media di più campioni della popolazione, si sommano e si trova la loro media, il risultato sarà la stima della media della popolazione.

Lo stesso vale quando si utilizza la deviazione standard Deviazione standard Da un punto di vista statistico, la deviazione standard di un set di dati è una misura della grandezza delle deviazioni tra i valori delle osservazioni contenute. Se si calcola la deviazione standard di tutti i campioni nella popolazione, li si somma e si trova la media, il risultato sarà la deviazione standard dell'intera popolazione.

Come funziona il teorema del limite centrale?

Il teorema del limite centrale costituisce la base della distribuzione di probabilità. Rende facile capire come si comportano le stime della popolazione quando sono sottoposte a campionamenti ripetuti Errore di tipo II Nel test di ipotesi statistiche, un errore di tipo II è una situazione in cui un test di ipotesi non riesce a rifiutare l'ipotesi nulla che è falsa. In altro . Quando tracciato su un grafico, il teorema mostra la forma della distribuzione formata per mezzo di campioni di popolazione ripetuti.

Man mano che le dimensioni del campione aumentano, la distribuzione delle medie dei campioni ripetuti tende a normalizzarsi e ad assomigliare a una distribuzione normale. Il risultato rimane lo stesso indipendentemente da quale fosse la forma originale della distribuzione. Può essere illustrato nella figura seguente:

Teorema del limite centrale (CLT) - Come nasce

Dalla figura sopra, possiamo dedurre che nonostante il fatto che la forma originale della distribuzione fosse uniforme, tende verso una distribuzione normale all'aumentare del valore di n (dimensione del campione).

Oltre a mostrare la forma che assumerà le medie campionarie, il teorema del limite centrale fornisce anche una panoramica della media e della varianza della distribuzione. La media campionaria della distribuzione è la media effettiva della popolazione da cui sono stati prelevati i campioni.

La varianza della distribuzione campionaria, invece, è la varianza della popolazione divisa per n . Pertanto, maggiore è la dimensione del campione della distribuzione, minore è la varianza della media campionaria.

Esempio di teorema del limite centrale

Un investitore è interessato a stimare il rendimento dell'indice del mercato azionario ABC composto da 100.000 azioni. A causa delle grandi dimensioni dell'indice Dow Jones Industrial Average (DJIA), il Dow Jones Industrial Average (DJIA), comunemente indicato anche come "il Dow Jones" o semplicemente "il Dow", è uno dei più popolari e ampiamente diffusi. indici di borsa riconosciuti, l'investitore non è in grado di analizzare ogni titolo in modo indipendente e sceglie invece di utilizzare un campionamento casuale per ottenere una stima del rendimento complessivo dell'indice.

L'investitore sceglie campioni casuali delle azioni, con ogni campione che comprende almeno 30 azioni. I campioni devono essere casuali e qualsiasi campione selezionato in precedenza deve essere sostituito nei campioni successivi per evitare distorsioni.

Se il primo campione produce un rendimento medio del 7,5%, il campione successivo può produrre un rendimento medio del 7,8%. Con la natura del campionamento randomizzato, ogni campione produrrà un risultato diverso. Man mano che aumenti la dimensione della dimensione del campione con ogni campione che scegli, le medie del campione inizieranno a formare le proprie distribuzioni.

La distribuzione delle medie campionarie si muoverà verso la normalità all'aumentare del valore di n. Il rendimento medio delle azioni nell'indice campione stima il rendimento dell'intero indice di 100.000 azioni e il rendimento medio è normalmente distribuito.

Storia del teorema del limite centrale

La versione iniziale del teorema del limite centrale è stata coniata da Abraham De Moivre, un matematico di origine francese. In un articolo pubblicato nel 1733, De Moivre usò la distribuzione normale per trovare il numero di teste risultanti da lanci multipli di una moneta. Il concetto era impopolare all'epoca ed è stato dimenticato rapidamente.

Tuttavia, nel 1812, il concetto fu reintrodotto da Pierre-Simon Laplace, un altro famoso matematico francese. Laplace ha reintrodotto il concetto di distribuzione normale nella sua opera intitolata "Théorie Analytique des Probabilités", dove ha tentato di approssimare la distribuzione binomiale con la distribuzione normale.

Il matematico ha scoperto che la media delle variabili casuali indipendenti, se aumentata di numero, tende a seguire una distribuzione normale. A quel tempo, le scoperte di Laplace sul teorema del limite centrale attirarono l'attenzione di altri teorici e accademici.

Più tardi, nel 1901, il teorema del limite centrale fu ampliato da Aleksandr Lyapunov, un matematico russo. Lyapunov è andato un passo avanti per definire il concetto in termini generali e dimostrare come il concetto ha funzionato matematicamente. Le funzioni caratteristiche che ha usato per fornire il teorema sono state adottate nella moderna teoria della probabilità.

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