Dati più eventi, la regola di addizione per le probabilità viene utilizzata per calcolare la probabilità che si verifichi almeno uno degli eventi. La probabilità può essere definita come la branca della matematica che quantifica la certezza o l'incertezza di un evento o di un insieme di eventi.
Concetti correlati
Prima di comprendere la regola dell'addizione, è importante comprendere alcuni semplici concetti:
- Spazio campione : è l'insieme di tutti gli eventi possibili. Ad esempio, quando si lancia una moneta, lo spazio campione è {Testa, Croce} perché testa e croce sono tutti i possibili risultati.
- Evento : con probabilità, un evento è definito come un risultato particolare. Ad esempio, lanciare una moneta e ottenere teste è un evento.
- Eventi che si escludono a vicenda : sono eventi tali che se uno si verifica, l'altro non può verificarsi. Di nuovo, nell'esempio della moneta, se otteniamo testa, non possiamo ottenere croce. Quindi, i due sono eventi che si escludono a vicenda.
- Eventi reciprocamente esaustivi : eventi che insieme abbracciano l'intero spazio campionario. In caso di lancio di una moneta, ottenere testa e croce sono reciprocamente esaustivi poiché l'intero spazio campione è {Testa, Croce}.
- Eventi indipendenti : eventi che si verificano indipendentemente l'uno dall'altro. Ad esempio, quando si lanciano due monete, il risultato della seconda moneta è indipendente dal risultato della prima moneta.
La formula per calcolare la probabilità di due eventi A e B è data da:
Dove:
- P (A ∪ B) - Probabilità che si verifichi A o B.
- P (A) - Probabilità dell'evento A
- P (B) - Probabilità dell'Evento B
- P (A ∩ B) - Probabilità che A e B avvengano insieme
Il seguente diagramma di Venn illustra come e perché funziona la formula:
Come mostrato sopra, sottraiamo il termine P (AB) perché verrebbe contato due volte quando si sommano P (A) e P (B).
Calcolo di P (A ∩ B)
La probabilità che si verifichino entrambi gli eventi A e B - P (A ∩ B) - può essere facilmente calcolata se gli eventi sono indipendenti l'uno dall'altro moltiplicando le due probabilità P (A) e P (B) come mostrato di seguito:
Se A e B sono eventi indipendenti, allora:
Se gli eventi A e B non sono indipendenti l'uno dall'altro, la probabilità può essere dedotta dalla natura degli eventi o è altrimenti difficile da determinare.
Eventi reciprocamente esclusivi
In caso di eventi che si escludono a vicenda Eventi che si escludono a vicenda In statistica e teoria delle probabilità, due eventi si escludono a vicenda se non possono verificarsi contemporaneamente. L'esempio più semplice di mutuamente escludersi, la probabilità che entrambi gli eventi si verifichino contemporaneamente è zero per definizione perché se si verifica uno, l'altro evento non può. Quindi, per gli eventi A e B che si escludono a vicenda, c'è:
Notare il fatto che gli eventi che si escludono a vicenda non sono indipendenti perché se sia P (A) che P (B) sono probabilità diverse da zero, allora P (AB) = P (A) * P (B) non può essere zero. Infatti, per la loro stessa definizione di eventi che si escludono a vicenda, dipendono dal fatto che l'altro evento non si verifica. Lo schema seguente illustra il concetto:
Esempio numerico
Passiamo a un esempio numerico che illustra il concetto. Assumiamo due eventi indipendenti, A e B. Siano P (A) = 0,6 e P (B) = 0,4. Allora P (A ∪ B) è dato da:
- P (A) = 0,6
- P (B) = 0,4
P (A ∩ B) = P (A) * P (B) = 0,6 * 0,4 = 0,24
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (AB) = 0,6 + 0,4 - 0,24 = 0,76
Quindi, P (A ∪ B) è 76% .
Regole derivate
La regola dell'addizione per le probabilità produce alcune altre regole che possono essere utilizzate per calcolare altre probabilità.
Eventi reciprocamente esclusivi
Per eventi che si escludono a vicenda, la probabilità congiunta P (A ∪ B) = 0. Quindi, otteniamo:
Probabilità per esattamente uno dei due eventi
La probabilità di esattamente uno di due eventi può essere calcolata semplicemente modificando la regola di addizione come segue:
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