Capital Allocation Line (CAL) e Optimal Portfolio

La Capital Allocation Line (CAL) è una linea che rappresenta graficamente il profilo di rischio e rendimento delle attività e può essere utilizzata per trovare il portafoglio ottimale. Di seguito viene descritto il processo per costruire la CAL per una raccolta di portafogli.

Rendimento e varianza attesi del portafoglio

Per semplicità, costruiremo un portafoglio con solo due attività rischiose.

Il rendimento atteso del portafoglio è una media ponderata dei rendimenti attesi delle sue singole attività ed è calcolato come:

E (Rp) = w 1 E (R 1 ) + w 2 E (R 2 )

Dove w 1 , w 2 sono i rispettivi pesi per le due attività ed E (R 1 ), E (R 2 ) sono i rispettivi rendimenti attesi.

I livelli di varianza si traducono direttamente con i livelli di rischio; una varianza più elevata significa livelli di rischio più elevati e viceversa. La varianza di un portafoglio non è solo la media ponderata della varianza delle singole attività, ma dipende anche dalla covarianza e dalla correlazione delle due attività. La formula per la varianza del portafoglio è data come:

Var (R p ) = w2 1 Var (R 1 ) + w2 2 Var (R 2 ) + 2w 1 w 2 Cov (R 1 , R 2 )

Dove Cov (R 1 , R 2 ) rappresenta la covarianza dei due rendimenti dell'attività. In alternativa, la formula può essere scritta come:

σ 2 p = w 2 1 σ 2 1 + w 2 2 σ 2 2 + 2ρ (R 1 , R 2 ) w 1 w 2 σ 1 σ 2 , usando ρ (R 1 , R 2 ), la correlazione di R 1 e R 2 .

La conversione tra correlazione e covarianza è data come: ρ (R 1 , R 2 ) = Cov (R 1 , R 2 ) / σ 1 σ 2 .

La varianza del rendimento del portafoglio è maggiore quando la covarianza delle due attività è positiva e minore se negativa. Poiché la varianza rappresenta il rischio, il rischio del portafoglio è inferiore quando i suoi componenti di attività possiedono una covarianza negativa. La diversificazione è una tecnica che riduce al minimo il rischio di portafoglio investendo in attività con covarianza negativa.

In pratica, non conosciamo i rendimenti e le deviazioni standard dei singoli asset, ma possiamo stimare questi valori sulla base dei valori storici di questi asset.

La frontiera efficiente

Una frontiera del portafoglio è un grafico che mappa tutti i possibili portafogli con diverse combinazioni di ponderazione degli asset, con livelli di deviazione standard del portafoglio rappresentati graficamente sull'asse xe rendimento atteso del portafoglio sull'asse y.

Per costruire una frontiera di portafoglio, assegniamo prima i valori per E (R 1 ), E (R 2 ), stdev (R 1 ), stdev (R 2 ) e ρ (R 1 , R 2 ). Utilizzando le formule di cui sopra, calcoliamo quindi il rendimento atteso del portafoglio e la varianza per ogni possibile combinazione di ponderazione degli asset (w 2 = 1-w 1 ). Questo processo può essere eseguito facilmente in Microsoft Excel, come mostrato nell'esempio seguente:

Linea di allocazione del capitale (CAL)

Quindi utilizziamo il grafico a dispersione con linee morbide per tracciare il rendimento atteso e la deviazione standard del portafoglio. Il risultato è mostrato nel grafico sottostante, dove ogni punto sul grafico rappresenta un portafoglio costruito sotto una combinazione di ponderazione degli asset.

frontiera del portafoglio

Allora come facciamo a sapere quali portafogli sono attraenti per gli investitori? Per rispondere a questa domanda, introduciamo il concetto di criterio di varianza media , che afferma che il portafoglio A domina il portafoglio B se E (R A ) ≥ E (R B ) e σ A ≤ σ B (ovvero il portafoglio A offre un rendimento atteso maggiore e rischio inferiore rispetto al portafoglio B). In tal caso, gli investitori preferirebbero A a B.

Dal grafico, possiamo dedurre che i portafogli sulla porzione inclinata verso il basso della frontiera del portafoglio sono dominati dalla porzione inclinata verso l'alto. In quanto tali, i punti sulla parte inclinata verso l'alto della frontiera del portafoglio rappresentano portafogli che gli investitori trovano interessanti, mentre i punti sulla parte inclinata verso il basso rappresentano portafogli che sono inefficienti.

Secondo il criterio della varianza media, qualsiasi investitore selezionerebbe in modo ottimale un portafoglio sulla parte inclinata verso l'alto della frontiera del portafoglio, chiamata frontiera efficiente o frontiera della varianza minima . La scelta di qualsiasi portafoglio sulla frontiera efficiente dipende dalle preferenze di rischio dell'investitore.

Un portafoglio al di sopra della frontiera efficiente è impossibile, mentre un portafoglio al di sotto della frontiera efficiente è inefficiente.

Portafoglio completo e linea di allocazione del capitale

Nella costruzione di portafogli, gli investitori spesso combinano attività rischiose con attività prive di rischio (come i titoli di stato) per ridurre i rischi. Un portafoglio completo è definito come una combinazione di un portafoglio di attività rischiose, con rendimento R p , e l'attività priva di rischio, con rendimento R f .

Il rendimento atteso di un portafoglio completo è dato come:

E (R c ) = w p E (R p ) + (1 - w p ) R f

E la varianza e la deviazione standard del rendimento del portafoglio completo è data come:

Var (R c ) = w2 p Var (R p ), σ (R c ) = w p σ (R p ),

dove w p è la frazione investita nel portafoglio di attività rischiose.

Mentre il rendimento in eccesso atteso di un portafoglio completo è calcolato come:

E (R c ) - R f ,

se sostituiamo E (R c ) con la formula precedente, otteniamo w p (E (R p ) - R f ).

La deviazione standard del portafoglio completo è σ (R c ) = w p σ (R p ), che ci dà:

w p = σ (R c ) / σ (R p )

Pertanto, per ogni portafoglio completo:

Oppure E (R c ) = R f + S p σ (R c ), dove S p =

La linea E (R c ) = R f + S p σ (R c ) è la linea di allocazione del capitale (CAL). La pendenza della linea, S p , è chiamata Sharpe ratio Sharpe Ratio Lo Sharpe Ratio è una misura del rendimento aggiustato per il rischio, che confronta il rendimento in eccesso di un investimento con la sua deviazione standard dei rendimenti. Lo Sharpe Ratio viene comunemente utilizzato per valutare la performance di un investimento adeguandone il rischio. , o rapporto ricompensa / rischio. L'indice di Sharpe misura l'aumento del rendimento atteso per unità di deviazione standard aggiuntiva.

Portafoglio ottimale

Il portafoglio ottimale è costituito da un'attività priva di rischio e da un portafoglio di attività rischiose ottimale. Il portafoglio di asset rischiosi ottimale si trova nel punto in cui la CAL è tangente alla frontiera efficiente. Questo portafoglio è ottimale perché la pendenza della CAL è la più alta, il che significa che otteniamo i rendimenti più elevati per unità di rischio aggiuntiva. Il grafico seguente lo illustra:

portafoglio ottimale

I pesi tangenti del portafoglio vengono calcolati come segue:

Riepilogo della riga di allocazione del capitale

Gli investitori utilizzano sia la frontiera efficiente che la CAL per ottenere diverse combinazioni di rischio e rendimento in base a ciò che desiderano. Il portafoglio rischioso ottimale si trova nel punto in cui la CAL è tangente alla frontiera efficiente. Questa combinazione di ponderazione degli asset offre il miglior rapporto rischio / rendimento, poiché ha la pendenza più alta per CAL.

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  • Premio per il rischio di mercato Premio per il rischio di mercato Il premio per il rischio di mercato è il rendimento aggiuntivo che un investitore si aspetta dal possesso di un portafoglio di mercato rischioso invece di attività prive di rischio.
  • Definizione dell'indice di Sharpe Indice di Sharpe Lo Sharpe Ratio è una misura del rendimento aggiustato per il rischio, che confronta il rendimento in eccesso di un investimento con la sua deviazione standard dei rendimenti. Lo Sharpe Ratio viene comunemente utilizzato per valutare la performance di un investimento adeguandone il rischio.
  • Calcolatore del rapporto di Sharpe Calcolatore del rapporto di Sharpe Il calcolatore del rapporto di Sharpe consente di misurare il rendimento corretto per il rischio di un investimento. Scarica il modello Excel di Finance e il calcolatore dell'indice di Sharpe. Rapporto di Sharpe = (Rx - Rf) / StdDev Rx. Dove: Rx = rendimento atteso del portafoglio, Rf = tasso di rendimento privo di rischio, Dev Std Rx = deviazione standard del rendimento / volatilità del portafoglio

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